2022年1月12日

用点扩散函数描述成像系统的衍射极限分辨率

Category: Product News
Resolution of diffraction-limited imaging systems using the point spread function

成像系统（例如显微镜）的衍射极限分辨率可以通过不同方式表征。 在本文中，我们建议使用在OpticStudio中计算的点扩散函数 (PSF) 来客观衡量这些成像系统的分辨率。文中介绍了重叠图像（探测器）平面上两个点的PSF的两种方法。 第一种方法使用多重结构编辑器，第二种方法使用图像模拟工具。文中比较了这两种方法，并讨论了它们的优缺点。

成像系统的性能与其分辨率有关，但分辨率的定义各不相同。在超分辨率显微镜中，傅里叶环相关[1]用于评估分辨率。 在衍射极限显微镜中，分辨率是用瑞利或斯派罗准则估算的[2]。在实践中，这些系统的分辨率也可以用微粒测量，微粒选择明显小于预期分辨率，选定上述标准之一。这些微粒充当形成PSF的点发源，其尺寸给出了图像分辨率的估计值，同样，该尺寸根据其定义而变化。在本文中，我们使用OpticStudio中的PSF来更客观地评估衍射极限成像系统的分辨率。

方法一：多重结构编辑器（相干成像）

显微镜设计

在整篇文章中，我使用了基于TL4X-SAP物镜（4X，0.2 NA）和TTL200管镜的显微镜设计，如图1所示。这两种透镜都可由THORLABS网站以黑盒形式提供。

Figure 1 - Microscope design composed of black box elements from THORLABS. The magnification is 4X, and the numerical aperture (NA) is 0.2.

图 1 - 由THORLABS的黑匣子元件组成的显微镜设计。放大倍数为4X，数值孔径 (NA) 为0.2。

我们使用“真实图像高度”定义并指定了在X和Y半宽为6.656毫米的正方形上具有相等面积的五个视场，对应于物平面中的1.664毫米。视场由像面中具有2048x2048像素和13.312x13.312mm2物理尺寸的科学 CMOS (sCMOS) 探测器进行建模。这些探测器通常用于显微镜，可以在Orca-Flash4.0 V3 (Hamamatsu) 或Zyla 4.2 plus (Andor) 等相机产品中找到。 我还使用了OpticStudio的波长 F、d、C（可见光）预设。 使用标准执行优化：具有四个环和六个臂的RMS波前质心，以及默认的空气边界约束（0 到 1000 毫米）。此外，该系统还受到远心和-4倍放大倍率的限制（在此显微镜设计中，图像是颠倒的）。

我选择这种显微镜设计是因为它相对容易设置并且具有实际应用。例如，机器视觉应用中通常需要远心性（如此处讨论）。我们始终保持优化简单，本文无意描述显微镜设计的一般情况。然而，本文的结果和结论适用于大多数具有共轭物体和像平面的成像系统，其中对衍射的大部分贡献发生在出瞳处，这意味着惠更斯点扩散函数 (PSF) 是评价系统性能的一个好参考。

多重结构设计

为了解决显微镜设计的分辨率问题，我们在物平面中创建了两个点源，并逐渐将它们分开，距离接近瑞利准则，并观察它们的PSF如何在图像平面中重叠。在显微镜设计中，瑞利准则yRayleigh可由下式计算：

其中λPrimary是主波长0.588 um，NA是物镜的数值孔径0.2（本文不讨论聚光镜 NA）。虽然瑞利准则可以作为系统分辨率的衡量标准，但它假定一个完美的圆形、无畸变孔径光阑和非相干照明（有关瑞利准则的更多详细信息可以在此处找到）。此外，瑞利标准是一种主观度量，用于确定两个PSF的可辨别性，这实际上取决于观察者，以及需要从显微镜图像中检索的信息类型，我们将在本节的其余部分中看到。

首先删除除轴上（场1）以外的所有视场，然后将其转换为像高，如图2所示。

Figure 2 - Field setup for the multi-Configuration method to analyse the microscope resolution. Only the on-axis field is kept, and it has been converted to Object Height.

图 2 - 用于分析显微镜分辨率的多配置方法的场设置。仅保留轴上视场，并且已将其转换为像高。

然后，使用单个YFIE操作数创建两个结构，并在第二个结构中指定值为1.8e-3 mm，如图3所示。

Figure 3 - Multi-Configuration setup for the PSF overlap analysis. The two-point sources are separated by 1.8 um in the object plane.

图 3 - PSF重叠分析的多重结构设置。 两个点源在物平面上相距1.8 um。

最后，使用一个惠更斯PSF和惠更斯PSF截面来分析图像平面中两个PSF的重叠情况。两种分析可以对两种配置中的各个PSF进行相干求和（有关更多详细信息，请参阅帮助文件）。分析设置显示在图4中，特殊的多重结构设置显示为红色框和箭头（此选项不适用于FFT PSF）。

Figure 4 - Huygens PSF settings. By checking all configurations from the menu bar, a coherent sum is performed of the individual PSFs.

图 4 - 惠更斯PSF设置。通过检查菜单栏中的所有配置，对各个PSF执行相干求和。

着重分析轴上场的分辨率上，但在各个视场的每个部分都可以进行相同的分析。

惠更斯PSF的结果如图5所示。

Figure 5 - Results of the Huygens PSF, and PSF Cross Section overlap with an object plane Y-field separation of 1.8 um (Rayleigh criterion) in multiple configurations. The two-point sources are hardly distinguishable by eye in this microscope design.

图 5 - 惠更斯PSF的结果，以及PSF截面与多重结构中1.8 um（瑞利准则）的物平面Y轴重叠情况。 在这种显微镜设计中，肉眼很难区分两个点光源。

可以看出，两个场点在图像平面上严重重叠，它们各自的 PSF 几乎无法区分。有两个原因可以解释这个结果。首先，通过执行PSF的相干求和，违反了瑞利准则的非相干照明假设，并导致分辨率下降。其次OPD 扇形图显示出0.25波量级的像差，并且该显微镜位于衍射极限的边缘，这意味着它的衍射极限足以进行诸如惠更斯PSF之类的分析，但它仍然存在一些几何像差，这改变了系统的衍射极限性能。根据经验，最大化视野和分辨率的显微镜设计往往属于近衍射极限系统的类别，并且通常难以仅基于瑞利准则进行表征。

根据瑞利准则，可以增加场的分离距离，并重新评估结果。我们已经在图6中完成了它，在物平面中分离了2.3 um。

Figure 6 - Results of the Huygens PSF, and PSF Cross Section overlap with an object plane Y-field separation of 2.3 um in multiple configurations. By increasing the separation distance between the field points, the PSFs start to separate in the image plane, and one can observe two distinct peaks.

 

图 6 - 惠更斯PSF的结果，以及PSF截面与多重结构中2.3 um的物平面Y轴分离。通过增加点之间的间隔距离，PSF开始在图像平面中分离，并且可以观察到两个不同的峰值。

随着更大距离的分离，产生的PSF变得可区分。惠更斯PSF截面中的峰分离几乎10 um，这与系统放大倍数 (4X) 一致。当我们说“可区分”时，它是对我们在图 6 中看到的内容的定性评估。但是，如果定义了在后处理方面应如何分离峰，则可以使该标准更加客观。例如，一个标准可能是“我希望能够用80% 的阈值并检测两个独立的点”，在这种情况下，可以使用OpticStudio优化峰值间距以对应于最大相对辐照度的80% （这超出了本文的范围）。

最后，我们还可以考虑探测器的物理像素大小，以获得从显微镜看到的图像。 PSF的半高全宽约为12um，我们假设的探测器的物理像素大小为6.5 um，这显然违反了Nyquist-Shanon采样定理，这是显微镜设计的另一个限制。图7显示了当图像采样更改为32x32像素且图像增量（物理像素大小）为6.5 um时的惠更斯PSF结果。

Figure 7 - PSFs overlap when accounting for the physical pixel size of the detector. Too few pixels compose the PSFs overlap and further degrade the resolution of the microscope.

图 7 - 考虑探测器的物理像素大小时，PSF重叠。 像素太少导致PSF重叠并进一步降低显微镜的分辨率。

可以看出，物理像素尺寸不足进一步降低了显微镜的分辨率，虽然在图6中可以区分两个峰值，但它们现在在图7中再次重叠。在这种情况下，显微镜分辨率被称为像素受限，并且至少是放大倍数缩放的像素大小的两倍，即3.25 um（6.5除以4的两倍）。物平面中场之间3.25 um分离距离的结果如图8所示。

Figure 8 - PSFs overlap when accounting for the physical pixel size of the detector. A separation of 3.25 um allows separating the close fields again. This distance corresponds to twice the pixel size divided by the magnification, a consequence of Nyquist-Shanon's sampling theorem.

图 8 - 考虑到探测器的物理像素大小时，PSF重叠。 3.25 um的分离使PSF再次分离。该距离对应于像素大小除以放大倍数的两倍，这是奈奎斯特-香农采样定理的结果。

考虑探测器像素大小，需要更大的分离以避免PSF混叠，并确保它至少由2个像素表示。3.25um的视场间隔与1.8 um瑞利标准大不相同，并且显示了分辨率的定义是多么模糊，但在本文中还没有考虑显微镜的公差，这将进一步降低该指标。

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作者
David Nguyen 
Berta Bernard
Chris Normanshire